Deux suites de dés aussi probables, mais l’une gagne 35 fois sur 36

Prenez deux dés et choisissez entre ces suites : double, double, non-double, ou non-double, double, double. Vous allez lancer les dés jusqu’à ce qu’une des deux apparaisse sur trois jets consécutifs. Laquelle choisiriez-vous ?

Chacune contient deux doubles et un jet sans double. Sur trois jets fixés à l’avance, chaque suite a une probabilité de 1/6 × 1/6 × 5/6, soit environ 2,3 %. Changer l’ordre des facteurs ne change pas le résultat.

Mais dans la course à la première apparition, la seconde gagne avec une probabilité de 35/36, soit environ 97,2 %. La première ne gagne que dans 1 cas sur 36.

C’est une variante du jeu de Penney, un jeu de suites aléatoires attribué à Walter Penney, généralement présenté avec des lancers de pièce. Ici, nous utilisons de vrais jets de deux dés : un double a une probabilité de 1/6, et non de 1/2. Nous avons choisi deux suites dont le résultat s’explique sans long calcul.

Chaque lettre représente un jet complet de deux dés

Notons D un double, par exemple 4–4, et N un jet sans double, par exemple 2–5. Le double précis n’a pas d’importance. Parmi les 36 paires de dés aussi probables les unes que les autres, six donnent D et 30 donnent N.

Les deux suites sont donc DDN et NDD. À partir du troisième jet, on regarde après chaque lancer les trois dernières lettres. On s’arrête dès qu’une des deux suites apparaît. Les groupes de trois jets se chevauchent : on ne recommence pas par blocs séparés de trois.

L’expérience commence avec une nouvelle séquence de jets ordinaires et indépendants de deux dés. Ce n’est pas une ouverture de partie de backgammon : pour l’ouverture, chaque joueur lance un dé et les égalités sont rejouées. Cette règle donnerait des conditions de départ différentes.

DDN doit profiter du tout début

Supposons que les deux premiers jets soient des doubles. La séquence commence par DD. Le premier non-double complétera DDN, quel que soit le nombre de doubles supplémentaires qui le précèdent. NDD ne peut pas apparaître avant ce non-double, puisqu’il n’y a pas encore eu de N.

DDN gagne donc chaque fois que l’expérience commence par DD. La probabilité de ces deux premiers doubles vaut 1/6 × 1/6 = 1/36.

Supposons maintenant que les deux premiers jets donnent autre chose : NN, ND ou DN. Il y a alors au moins un N avant la première paire de doubles consécutifs. Quand cette première paire arrive enfin, le jet juste avant elle est forcément N ; sinon, une paire de doubles consécutifs aurait déjà existé plus tôt. NDD vient donc de se former.

DDN n’a pas pu gagner avant. Pour compléter DDN plus tard, il faut d’abord DD, et ce premier DD aurait déjà complété NDD. DDN ne peut donc gagner que si les deux premiers jets de l’expérience sont déjà des doubles.

Tous les départs possibles sont couverts : DDN gagne avec une probabilité de 1/36 et NDD avec les 35/36 restants. Sous nos hypothèses de jets équitables et indépendants, la probabilité d’une séquence infinie qui ne termine jamais la course est nulle.

Pourquoi des chances égales sur trois jets ne donnent pas une course équilibrée

Regardez la séquence de quatre lettres NDDN. NDD apparaît au troisième jet, puis DDN au quatrième. Si l’on comptait les apparitions dans un long relevé, on compterait les deux. Dans une course, on s’arrête à la première : seul NDD gagne.

C’est là que l’ordre compte. Les suites peuvent arriver presque ensemble, en partageant certains jets. Elles ne se comportent pas comme deux billets de loterie indépendants que l’on tirerait à nouveau après chaque tour.

Aucun des deux calculs n’était faux. Sur trois jets fixés, on demande quelle suite occupe ces trois places précises. Dans une course, on doit tenir compte de tout ce qui a pu se passer avant, notamment d’une suite qui aurait déjà terminé le jeu.

On retrouve une difficulté proche dans le raisonnement sur les doubles consécutifs : changer le moment où l’on commence à observer, ou ce qui compte comme réussite, change le problème de probabilité.

Les deux dés changent bien le résultat

Avec une pièce équilibrée, si D et N représentaient simplement ses deux faces, DDN gagnerait avec une probabilité de 1/4 et NDD avec 3/4. La course serait déjà déséquilibrée malgré les probabilités égales sur trois lancers fixés.

Avec les dés de backgammon, D est beaucoup plus rare. Le départ particulier DD n’arrive qu’une fois sur 36, contre une fois sur quatre avec la pièce. L’avantage de NDD devient donc bien plus grand. On ne peut pas reprendre tel quel un pourcentage calculé pour pile ou face.

Les dés restent équitables du début à la fin. Quels que soient les jets précédents, le suivant a toujours une probabilité de 1/6 d’être un double. Ce qui change, c’est la suite qui peut terminer la course en premier compte tenu des jets déjà obtenus.

Essayez avec deux dés

Lancez une paire à la fois, ou simulez 100 nouvelles courses. Les probabilités exactes ci-dessus sont calculées à partir des règles. L’échantillon ci-dessous est généré à chaque demande et varie : une courte série n’a aucune raison de donner exactement 35 victoires contre une.

La course DDN contre NDD

D = double ; N = non-double. Chaque lettre est un jet de deux dés.

DDN1/362,8 %

NDD35/3697,2 %

Probabilités exactes de gagner une nouvelle course, pas résultats de la simulation.

Un exemple sans simulation

2–5, 4–4, 6–6 donnent NDD : la course s’arrête au troisième jet. Un non-double supplémentaire aurait ensuite formé DDN, mais serait arrivé trop tard.

Le déséquilibre de cette course vient du chevauchement des suites et de l’arrêt à la première apparition, avec des dés parfaitement équitables. Dans l’article sur les dés de CUBE Backgammon, nous expliquons comment ils sont générés dans l’application et comment vérifier les jets enregistrés.