Les 36 jets possibles au backgammon

Votre adversaire a un pion à la barre et seul le point 6 de son jan intérieur est ouvert : il lui faut donc un six pour rentrer. Quelles sont ses chances ?

Une chance sur six paraît plausible, mais chacun des deux dés peut donner le six attendu. La probabilité est en fait de 11 sur 36, soit un peu moins d’une chance sur trois.

Pour le comprendre, le plus simple est de regarder tous les jets possibles.

Deux dés de couleurs différentes

Prenez un dé ivoire et un dé rouge. Chacun des six nombres du dé ivoire peut se combiner avec les six nombres du dé rouge, ce qui donne 36 paires possibles.

Avec des dés équilibrés, chaque paire a la même chance de sortir ; chacune occupe une case dans la grille ci-dessous.

Les 36 possibilités

Le dé ivoire change à chaque ligne, le dé rouge à chaque colonne. Choisissez un exemple pour voir les cases qui conviennent.

Pourquoi 5–3 sort deux fois plus souvent que 5–5

Pour obtenir un cinq et un trois, vous pouvez avoir un cinq sur le dé ivoire et un trois sur le rouge, ou l’inverse. Ce sont deux cases différentes de la grille, mais sur le plateau vous les jouez de la même façon.

Le double cinq n’occupe qu’une case : les deux dés doivent afficher cinq. En inversant les dés, vous n’obtenez pas une autre possibilité.

Un jet précis sans double, comme 5–3, représente donc 2 possibilités sur 36, soit environ 5,6 %. Un double précis, comme 5–5, représente 1 possibilité sur 36, soit environ 2,8 %.

Les 21 jets dont on parle au backgammon correspondent à 15 jets sans double et six doubles. Ils n’ont pas tous la même probabilité : chaque jet sans double occupe deux cases de la grille, contre une seule pour un double.

Trouver ce six

Choisissez « Au moins un 6 » dans la grille pour voir s’allumer une ligne et une colonne entières, avec six cases dans chaque sens.

Additionner les six cases de la ligne et les six de la colonne donne douze, mais le double six figure dans les deux. En ne le comptant qu’une fois, il reste 11 cases sur 36, soit environ 30,6 %.

Le même raisonnement vaut pour chaque nombre. Obtenir au moins un as, au moins un quatre ou au moins un six a toujours la même probabilité. « Au moins un » inclut le double. Pour obtenir exactement un six, il faudrait retirer le double six : il resterait dix cases.

Six façons d’obtenir une somme de sept

Choisissez maintenant « Une somme de 7 ». Vous voyez 1–6, 2–5, 3–4, 4–3, 5–2 et 6–1. Six cases, donc une chance sur six.

Une somme de douze n’a qu’une case : 6–6. Les sommes n’ont pas toutes la même probabilité, même si chaque case est aussi probable que les autres.

Nous parlons ici de la somme des nombres affichés sur les deux dés. Au backgammon, un double se joue quatre fois, et les portes adverses peuvent empêcher certains déplacements. Une somme sur les dés ne garantit donc pas qu’un pion pourra avancer d’autant de points. La grille sert de point de départ ; la position détermine les jets qui vous sont utiles.

Un point ouvert peut malgré tout être indisponible si cette rentrée empêche d’utiliser l’autre dé. Essayez les deux ordres d’un 6–1.

Et les doubles ?

Ils se trouvent sur la diagonale : 1–1, 2–2, jusqu’à 6–6. Cela fait six cases sur 36. La probabilité d’obtenir un double, quel qu’il soit, est d’une chance sur six.

Une chance sur six ne signifie pas qu’un double doit arriver tous les six tours : des jets équilibrés peuvent en donner plusieurs à la suite ou laisser de longs intervalles entre eux.

Cette même probabilité sert dans un jeu de dés où deux suites aussi probables font la course à la première apparition. Il s’agit d’un jeu de probabilités, sans position de backgammon. Pour l’application, nous expliquons comment CUBE Backgammon génère ses dés et vous permet de vérifier les jets enregistrés.

Compter les cases avant les pourcentages

Devant le plateau, il est souvent plus simple de penser « onze jets me frappent » que de chercher un pourcentage. Une fois les onze cases trouvées, la probabilité suit.

Essayez les quelques questions ci-dessous. Elles reprennent la grille de la première leçon sur les dés dans l’Aventure de CUBE Backgammon. Il n’y a pas de chronomètre, et chaque réponse est expliquée.

À propos du calcul

Ces exemples supposent deux dés équilibrés et indépendants, lors d’un jet ordinaire. Le jet d’ouverture est différent : chaque joueur lance un dé et les égalités sont relancées. Chaque fraction présentée ici peut se vérifier en comptant les cases correspondantes. Pour une présentation classique, vous pouvez lire Basic Probability, d’Oswald Jacoby et John Crawford, en anglais.